等周定理

又到了推甄申請第二關的旺季

前幾年台大的第二階段數學試題曾出現等周問題

所以常有學生來問,彬爸整理了一下相關資料,提供大家參考



等周定理內容:周長固定的平面圖形中,以圓的面積最大

等周定理的嚴謹證明並非易事(Karl Weierstrass,1901),請參閱文末維基百科的介紹

如果限定在 多邊形(Polygon),
稱為 多邊形版等周定理(Polygonal Isoperimetric Problem),
ps.台大就是考這個版本

這個版本稍微好證一點
證明請參閱下方連結

An Elementary Proof of the Isoperimetric Inequality(Nikolaos Dergiades)
備份連結

或
OneDollarProblem(Michael J. Mossinghoff)的第二段(P2-P4)
備份連結

參考連結(引自MathWorld)
等周定理(Isoperimetric Theorem)
等周問題(Isoperimetric Problem)
等周不等式(Isoperimetric Inequality)

以下是引用自維基百科(2008.03.20)的介紹
Isoperimetry
等周定理

等周定理，又稱等周不等式，說明在周界相等的形狀之中，以圓的面積最大；
另一個說法是面積相等的形狀之中，以圓的周界最小。

它可以以不等式表達：若P為曲線的周界，A為曲線所包圍的區域面積，4 (Pi) A <= P^2。

它跟物理學上的最小作用量原理有關。

歷史

雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。
首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納(Jakob Steiner)以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。
其方法包括證明了
不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；
不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。
圓，是完全凸和對稱的形狀。 可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

1901年，赫爾維茨(Karl Weierstrass)憑傅利葉級數和格林定理給出一個純解析的證明。